Grenzen der Erkenntnis

blog_dw@medien-kooperative.de (Dirk Wittke) — Sun, 30 Jan 2011 23:55:00 +0100

Ein Gedankenexperiment nach Larry J. Stockmeyer und Albert R. Meyer

Beim Stöbern in alten Unterlagen bin ich auf Notizen zu einem vor Jahren von mir geplanten Artikel zu den letztlich doch überraschend engen mathematischen Grenzen kognitiver Erkenntnisfähigkeit gestoßen. Bewusst gemacht hat mir diese Grenzen William Poundstone in seinem Buch „Im Labyrinth des Denkens“ aus dem Jahr 1992 mit einem Gedankenexperiment, das in Hinblick auf die Unmöglichkeit der Widerspruchsfreiheit von komplexen Gedanken eine enorme Überzeugungskraft besitzt – zumindest auf mich. In der Mathematik läuft diese Art von Problemstellung unter dem Begriff praktische Unlösbarkeit von NP-vollständigen Problemen und bringt seit Generationen die Köpfe von Mathematikern zum Rauchen. Die auf den ersten Blick verblüffende Schlussfolgerung lautet: Unter extrem großzügigen und physikalisch unmöglichen Annahmen lassen sich „vom Anfang bis zum Ende der Zeit“ maximal 559 nicht-triviale Aussagen beziehungsweise Glaubenssätze widerspruchsfrei miteinander verbinden. Nicht gerade viel, oder?

Die Aufgabe

Bei Null beginnend soll eine hypothetische Liste allgemein anerkannter Aussagen zusammengestellt werden, um die Anzahl von Aussagen zu ermitteln, die widerspruchsfrei miteinander vereinbar sind.

Vorgehensweise

Bevor eine neue Aussage aufgenommen wird, wird sie mit den bisherigen Aussagen auf Widerspruchsfreiheit überprüft. Dazu muss die Vereinbarkeit der Aussage mit jeder Teilmenge bereits aufgenommener Aussagen überprüft werden. Bei n Aussagen sind demnach 2ⁿ - 1 Überprüfungen erforderlich:

Anzahl Aussagen	zu überprüfende Kombinationen
1	1
2	3
3	7
4	15
…	…
10	1023
…	…
100	1,27 ⋅ 10³⁰
…	…
10.000	10³⁰¹⁰

Einhundert beliebige, miteinander vereinbare Aussagen aufzustellen, ist leicht, wenn darauf geachtet wird, dass die Aussagen unabhängig voneinander sind. Sie können beispielsweise die Wikipedia durchstöbern und dort problemlos 100 solcher Aussagesätze heraussuchen, die keinerlei Bezug untereinander aufweisen. Im Allgemeinen beziehen sich viele – und vor allem die interessanteren – Aussagen aber auf gleiche Variablen und sind logisch komplex.

Das Experiment

Fragestellung

Wie schnell könnte ein idealer Computer die Liste von Aussagen erweitern?

Voraussetzungen

Die Rechnerkapazität hängt von der Anzahl der Prozessoren ab:

Uns stehen (hypothetische) Prozessoren der Größe von Protonen zur Verfügung (da sie zu den kleinsten messbaren Objekten gehören).
Durchmesser (abgerundet): 10^-15 m.

Die Prozessoren lassen sich ideal miteinander verknüpft verstauen.

Damit passen in einen gegebenen Raum so viele Prozessoren wie Idealkugeln mit dem Durchmesser von Protonen.

Ein weiterer Faktor ist die Geschwindigkeit:

Die höchste angenommene Geschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit.

Als Schaltgeschwindigkeit der Prozessoren arbeiten wir mit der Zeit, die Licht benötigt, um den Durchmesser eines Protons zu durchlaufen: 3 ⋅ 10^-24 Sekunden.

Des Weiteren sind unsere Prozessoren ideal parallel verknüpft, d. h. jeder Prozessor steht mit jedem anderen in direkter Verbindung.

Wir befinden uns also in der glücklichen Lage, dass es bei Befehlsübertragungen zu keinerlei Verzögerungen kommt.

Versuchsablauf

Die Aufgabe der Listenerstellung wird auf die einzelnen Prozessoren verteilt, indem jeder von ihnen eine eigene Teilmenge der jeweils gültigen Liste von Aussagen zugeordnet bekommt.

Jeder Prozessor soll ohne Zeitaufwand eine neue Aussage mit der bereits vorhandenen Teilmenge vergleichen können. Er kann also mit der Umschaltgeschwindigkeit von 3 ⋅ 10^-24 Sekunden feststellen, ob ein Widerspruch vorliegt und anschließend auf eine neue zu überprüfende Teilmenge übergehen.

Damit ist jeder Prozessor in der Lage, 3,3 ⋅ 10²³ logische Überprüfungen pro Sekunde durchzuführen. Ein Rechner mit einem Volumen von 1 m³ enthält 10⁴⁵ unserer Ideal-Prozessoren und schafft folglich 3,3 ⋅ 10⁶⁸ Tests pro Sekunde.

Zwischenergebnis

Damit sind innerhalb der ersten Sekunde alle notwendigen Vergleiche für immerhin 227 Aussagen durchführbar.

Anzahl Aussagen	verstrichene Zeit
227	0,64 s
228	1,29 s
229	2,58 s
230	5,17 s
…	…
234	1,38 min
…	…
250	62 Tage
…	…
300	2 ⋅ 10¹⁴ Jahre

Versuchserweiterung

Das Alter des Universums wird auf etwa 13,75 Milliarden Jahre geschätzt (also zwischen 10¹⁷ und 10¹⁸ Sekunden).

Nun nehmen wir uns 10¹⁹ Sekunden Zeit – quasi „immer und ewig“.

Vom Anfang bis zum Ende der Zeit schafft unser Ideal-Computer demnach gerade einmal 290 Aussagen.

Jetzt ließe sich noch der Rechner vergrößern. Die äußerste Grenze wäre die Größe des Universums, die im Rahmen des Urknall-Standardmodells derzeit (Stand von Ende 2010) auf etwa 47 Milliarden Lichtjahre veranschlagt wird.

Wir setzen den Durchmesser des (als endlich angenommenen) Universums großzügig mit 100 Milliarden Lichtjahren an.

1 Lichtjahr (aufgerundet): 10¹³ km = 10¹⁶ m
Durchmesser_Universum: 10²⁷ m
Volumen_Universum: 10⁸¹ m³
=> Anzahl möglicher Prozessoren: 10⁸¹ ⋅ 10⁴⁵ = 10¹²⁶

Mit absoluter Sicherheit wird kein Computer, Gehirn oder sonstiger physikalischer Gegenstand mehr Teile beinhalten. Dies ist eine Grenze aller Möglichkeiten!

Versuchsergebnis

Dieser Rechner würde vom Anfang bis zum Ende der Zeit 10¹²⁶ ⋅ 10¹⁹ ⋅ 3,3 ⋅ 10²³ = 3,3 ⋅ 10¹⁶⁸ Rechenschritte durchführen können. Das ist die absolute Obergrenze dafür, wie oft irgendetwas getan werden kann. Mit dieser Anzahl von Überprüfungen kann die Liste von Aussagen auf maximal 559 Aussagen anwachsen.

Ergebnis-Bewertung

Heißt das, wir können nur 559 Dinge wissen? Nein! Denn vieles wissen wir aufgrund einfacher Schlussfolgerungen, Syllogismen und Kettenschlüsse. Die Zahl 559 ist lediglich die Obergrenze für Aussagen, die logisch komplex genug sind, dass für ihre Überprüfung ein Exponenzialzeit-Algorithmus benötigt wird. Allerdings sind logisch komplexe Sätze weder selten noch unnatürlich; auch vermeintlich einfache Überzeugungen sind durch etliche zusätzliche – nicht immer offensichtliche – Hypothesen modifiziert.

Einige Konsequenzen

Wenn wir nicht einmal in der Lage sind, festzustellen, ob unsere komplexeren Überzeugungen einen Widerspruch enthalten, dann verstehen wir sie auch nicht im vollen Sinn.
Es ist unmöglich, zu dem Schluss zu gelangen, dass etwas über jeden Zweifel erhaben ist.
Unsere Schlussfolgerungen über die wirkliche Welt sind begrenzt.
Es gibt mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit unermesslich viele Wahrheiten, die nicht erkennbar sind.
Es muss unentdeckte Allgemeinaussagen geben, die längst überfällig sind – es müsste nur jemand die richtigen Schlüsse ziehen!

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